Question

相似证明一题

如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，PM⊥PN,PM交BC于Q,PN交CD于R.
(1)求证;PQ=PR
(2)求证：PA·PN=PC·PM
(3)如图2，（若正方形变矩形），(2)中的结论是否成立，如果AB/BC=2/3,试探求：PN/PM与PC/PN关系。





Answer 1

(1)

过P做EF∥BC交AB于E，CD于F

过P做PG⊥稿好BC交BC于G，

ABCD为正方形，

∴ EF⊥CD，PFCG也是正方形

即：PF = PG，∠PFR = ∠PGQ = 90° 

∵ PM⊥PN，PG⊥EF

∴ ∠FPR + ∠RPG = ∠QPG + ∠RPG = 90°

   ∠FPR = ∠QPG

因此，△FPR 与 △GPQ 是全等三角形

所以：PQ = PR

(2)

△AEP 与 △CFP 都是等腰直角三角形

所以，它们是相似三角形

∴ PA:PC = PE:PF

∵ EF∥BC，PG∥AB

∴ ∠EMP = ∠QPG = ∠FPR = ∠PNG

又 ∠MEP = ∠NGP = 90°

∴ △MEP 与 △NPG 相似

于是，PM:PN = PE:PG = PE:PF = PA:PC

PA·PN = PC·PM

(3)

如果ABCD是矩形，

PG:PF = AB:BC = 2:3

△MEP 与 △NPG 仍然相似

PN:PM = PG:PE

△AEP 与 △键姿铅CFP 仍然相似

PC:PA = PF:PE 

PN:PM = PG:PE = (2/3)PF:PE = (2/3)PC:PA = 2PC:3PA

即：当ABCD是矩形时，(2)的结论不成立，

当AB/BC=2/3时，PN:PM = 2PC:3PA

注：册神原题中最后一句应为 PC/PN

如有问题，继续追问，如有帮助，敬请采纳。