Question

一道初中数学解答题，有关函数，只求第3问的详细解题思路

C点坐标(2,3)双曲线表示的函数解析式为y=3/x，求第三问的详细解题思路~详细的追加分~

Answer 1

解：(1)令y=-2x+2=0，得x=1，故A点的坐标为(1，0)；令直线方程中的x=0，得y=2，故B点的坐标
为(0，2)；于是∣AB∣=√5；AB所在直线的方程为y=-2x+2，其斜率KAB=-2；BC⊥AB，故BC所在直
线的斜率KBC=1/2，于是得BC所在直线的方程为y=(1/2)x+2，那么C点的坐标可设为(c，(c/2)+2)，
于是得等式c²+(c/2+2-2)²=c²+c²/4=5c²/4=5，c²=4，故c=2，所以C点的坐标为(2，3)；
AD所在直线的方程为y=(1/2)(x-1)，故D点的坐标可设为(d，(d-1)/2)，于是得等式：
(d-1)²+(d-1)²/4=5(d-1)²/4=5，(d-1)²=4，d-1=2，故d=3，于是得D点的坐标为(3，1)；
(2)。双曲线y=k/x过D，故有等式1=k/3，即k=3，于是得双曲线方程为y=3/x；
(3)。任何过正方形中心的直线都能把正方形的面积二等分。因此只要求出正方形ABCD的中心的坐标就能很快求出OP所在直线的方程，然后求得P点的坐标。
设正方形ABCD的中心Q的坐标为(m，n)，BC的中点G的坐标为(1，5/2)；因此过G且平行于AB的直线的方程为y=-2(x-1)+5/2=-2x+9/2...........(1)；AB的中点F的坐标为(1/2，1)；因此过F且与BC平行的直线的方程为y=(1/2)(x-1/2)+1=(1/2)x+3/4............(2)
(1)和(2)的交点就是正方形ABCD的中心；故令-2x+9/2=(1/2)x+3/4，解得m=3/2，n=-3+9/2=3/2；
即中心Q的坐标为(3/2，3/2)；所以OQ所在直线是第一象限的角平分线，其方程为：y=x；
令x=3/x，得x²=3，故x=√3，y=3/√3=√3；即P点的坐标为(√3，√3)。

Answer 2

思路如下：
由（2）得y=3/x
设AC、BD交于Q，作射线OQ交双曲线于P
则点Q（5/2，5/2）
∴OP解析式为 y=x，
代入y=3/x，
解得X1=√3，y1=√3或X=-3，y2=-√3
由此可知点P坐标。

（关键：把正方形面积平分的直线必经过对角线的交点）

追问

请问点Q是怎么求出来的呢？

追答

根据A、C的坐标或B、D的坐标，规律：
若点A（X1，Y1），点B（X2，Y2）,
则中点M的坐标是A、B坐标的平均数

Answer 3

一条直线如果把正方形的面分成相等的两部分，则这条直线一定过正方形的中心；
正方形的中心就是A,C的中点设其中点为M（x,y); 过M作MM'垂直于ox轴于M点；
过C作CC'垂直x轴于C'点，利用相似三角形得：
｛x-1=2-x
{y=3/2
所以M（3/2,3/2)
直线OP就是直线OM
设OP:y=kx,把M点坐标代入得：k=1
联立：
y=x
y=3/x==>x²=3
x=±√3
所以P(±√3,±√3)

Answer 4

(3)、直线OP将正方形ABCD的面积平分，所以直线OP必经过正方形ABCD的中心点(3/2，3/2)，
所以，直线OP的方程为：y=x，与双曲线y=3/x的交点为：x=y=v3，x=y=-v3（舍去），
即点P为（v3，v3）。