Question

求解惑一道关于积分的高等数学题目，好像题目不严谨，求高手解答，不胜感激！

题干中只说x属于区间[a，b]时，才有所给的那个函数关系，而我下面划横线部分的地方（(a+b)/2-t）就相当于题干中的x，但是我这里的（(a+b)/2-t）的范围应该是
[(a-b)/2,(b-a)/2]不属于区间[a，b]吧，因为由积分范围可知t的范围是[a，b]啊，所以我划线部分的地方是不是不成立啊？

Answer 1

题目条件本身就有问题，一开始说了f在[a,b]上连续，但是后面的f((a+b)/2+x)=f((a+b)/2-x)中的(a+b)/2+x与(a+b)/2-x的取值都突破了[a,b]，要想这里的f((a+b)/2-x)，f((a+b)/2-x)都有意义，应该限制x的范围是[-(b-a)/2,(b-a)/2]。或者把f((a+b)/2-x)=f((a+b)/2-x)直接换成f(a+b-x)=f(x)，或者说函数f(x)的图形关于x=(a+b)/2对称等等。

追问

我觉得题目条件没问题,只是我中间划红线部分有问题,后面的f((a+b)/2+x)=f((a+b)/2-x)中的(a+b)/2+x与(a+b)/2-x的取值都突破了[a,b],与f在[a,b]上连续不冲突吧?

追答

函数f的定义域突破了[a.b]，根据f((a+b)/2+x)=f((a+b)/2-x)可知函数f在[-(b-a)/2,(a+b)/2+b]上有定义，那么f((a+b)/2+x)=f((a+b)/2-x)中的x的范围也可以突破[a,b]，只要(a+b)/2+x与(a+b)/2-x都在定义域内就行。
所以推出f(a+b-t)=f(t)没有问题，其中的每一步中的自变量的范围都没有超出[-(b-a)/2,(a+b)/2+b]。

追问

这和定义域没多大关系吧,f((a+b)/2+x)=f((a+b)/2-x)这个关系成立的条件是x的范围必须是[a,b],而(a+b)/2-t可以看成是前面说到的x,而且它的范围是[(a-b)/2,(b-a)/2]不属于[a,b]所以不能得出f((a+b)/2+(a+b)/2-t)=f((a+b)/2-(a+b)/2-t)啊,难道我说的不对吗?

追答

解题过程的问题就是因为题目给的条件有问题。利用f((a+b)/2+x)=f((a+b)/2-x)推出f(a+b-t)=f(t)时，需要(a+b)/2+x与(a+b)/2-x都在[a,b]上取值，那么x的范围就是-(b-a)/2＜(b-a)/2，你觉得可能吗？

Answer 2

大师兄说的对啊！

你研究一下更上边那个划线部分x∈[a,b],后面那个式子吧，确实有问题啊。

追问

什么大师兄啊?你是说我说的对吗?

追答

是啊，就是你啊，说对了。

追问

叫我大师兄干吗,汗..

Answer 3

感觉不严密，不知道你用的是什么书?李永乐的书看的还少，陈文登的旧版书几乎几页就一个错误。。当然，只是技巧性的东西，记住就可以了，考试真出也没时间验证

追问

你赞同我的那个观点吗?