Question

反比例函数压轴题

（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝1/2，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(1)解析：∵反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E(2,n)，△BDE的面积为2
将D(4,m)和E(2,n)代入y=k/x，然后相比得n=2m
设B(4,yb)
过E作EG⊥BD交BD于G
S(△BDE)=1/2BD*EG=1/2*（4-2）*（yb-m）=2==>yb=m+2
又∵BC/AC=1/2
设AB方程为y=1/2x+b，代入B坐标，得yb=2+b
∴m+2=2+b==>m=b==>AB方程为y=1/2x+m
将D(4,m)代入y=k/x==>k=4m==>反比例函数为y=4m/x
又∵直线AB和曲线交于E(2,2m)
∴2m=1+m==>m=1
∴直线AB的解析式为y=1/2x+1，反比例函数为y=4/x
(2)解析：∵直线AB与y轴交于点F，∴F(0,1)
∵D(4,1)，P为射线FD上一动点，△AEO∽△EFP
∴FD//x轴
当P1为FD与OE交点时
∵A(-2,0)，F(0,1)，E(2,2)
EF/EA=EP1/EO=2
∴P1(1,1)

∵△AEO∽△FEP2
FP2/AE=FE/AO
AE=√(16+4)=2√5，EF=√5，OA=2
==>FP2/2√5=√5/2==>FP2=5
∴P2(5,1)
∴点P的坐标为P1(1,1)或P2(5,1)