Question

已知数列{an}满足a(n+1)=2an-an²/2,a1=1,求证an≤2且求an的通项公式

Answer 1

a(n+1)=2an-an²/2
a(n+1)-2=2an-an²/2-2=(-1/2)(an²-4an+4)=(-1/2)(an-2)²
平方项恒非负，(an-2)²≥0，又-1/2<0，因此(-1/2)(an-2)²恒≤0
a(n+1)-2≤0
a(n+1)≤2
又a1=1<2，因此an≤2
an≤2，2-an≥0
若an=2，则a(n+1)=2×2-2²/2=4-2=2，即数列若有一项=2，则以后各项均=2，也即若an≠2，则以后各项均≠2，a1=1≠2，因此an<2
log2[2-a(n+1)]=log2[(1/2)(2-an)²]=2log2(2-an) -1
log2[2-a(n+1)]-1=2log2(2-an)-2=2[log2(2-an)-1]
{log2[2-a(n+1)]-1}/[log2(2-an)-1]=2，为定值。
log2(2-a1) -1=log2(2-1) -1=0-1=-1
数列{log2(2-an) -1}是以-1为首项，2为公比的等比数列。
log2(2-an) -1=(-1)×2^(n-1)=-2^(n-1)
an=2-2^[1-2^(n-1)]

Answer 2

说一下思路好吗？
等式右边的通分，然后等式左右都倒过来，就是都变成倒数的意思，最后等式右边裂项就可以了，不懂可以追问

追问

我做出来了....你早点回啊 还是给你个满意算了....