Question

数学复习课上,张老师出示了如下框中的问题:(图一）问题思考 (1)经过独立思考,同学们想出

了多种正确的证明思路,其中有位同学的思路如下：如图1,过B作交CD的延长线于点E,请根据这位同学的思路提示证明上述框中问题.
方法迁移 (2)如图2,在Rt中, ,点D为AB中点,点E是线段AC上一动点, 连接DE, 线段DF始终与DE垂直且交BC于点F.猜想线段AE、EF、BF的数量关系并加以证明.拓展延伸(3)如图3,在Rt中, ,点D为AB中点,点E是线段AC延长线上一动点, 连接DE,线段 DF始终与DE垂直且交CB的延长线于点F,试问第 (2)中线段AE、EF、FB的数量关系会发生改变吗?若会, 请说明理由；若不会,请证明之.

图一

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Answer 1

(1)证明：∵在⊿ABC中，∠C=90°，D是斜边AB中点
过B作BE//AC交CD延长线于E
∴∠CAB=∠ABE, ∠ACE=∠BEC==>⊿ADC∽⊿BDE==>D为CE中点
∵∠CAB+∠CBA=90°==>∠ABE+∠CBA=90°
∴⊿ABC≌⊿ECB==>AB=CE
∴CD=1/2AB

(2)证明：过B作BG//AC交ED延长线于G，连接GF。
∴∠EAD=∠GBD，又∠EDA=∠GDB，AD=DB
∴ΔAED≌ΔBDG==>AE=BG，DE=DG
又∵DF⊥DE，∴DF是EG中垂线，EF=GF
∵∠C=90º==>∠GBF=90º，∴BF^2+BG^2=GF^2；
∴AE^2+BF^2=EF^2

(3)线段AE、EF、FB的数量关系不会发生改变
证明：延长ED到G使EF=FG
∵DF⊥EG==>ED=DG
连接BG
∴⊿ADE≌⊿BDG==>AE=BG,∠DBG=∠DAE
∠DAE+∠CBA=90°==>∠DBG+∠CBA=90°
∴CF^2=BG^2+BF^2
AE^2+BF^2=EF^2

Answer 2

(2)
证明：过B作BG平行于 AC交ED于G，连接GF。
可证ΔAED≌ΔBDG，可得AE=BG，DE=DG；
又∵DF⊥DE，∴DF是EG中垂线，EF=GF；
∵BG∥ AC，∴∠GBF=180º-∠ACB=180º-90º=90º，
∴ΔBFG是直角三角形，∴BF²+BG²=GF²；
等量代换有：AE²+BF²=EF²