Question

求齐次方程的通解：1.(x^2+y^2)dx-xydy=0 2.（x^3+y^3）dx-3xy^2dy=0

Answer 1

1解： (x^2+y^2)dx-xydy=0；dy/dx=(x+y)/(xy)；dy/dx=((x/y)+1)/(x/y)； 令u=y/x，则dy=du*x+dx*u，dy/dx=(du/dx)*x+u， 代入得(du/dx)*x+u=(u+1)/u=u+1/u，du/dx=1/(xu)，*du=dx/x， 两边积分得 (1/2)u=lnx+C 将u=y/x回代，(1/2)(y/x)=(lnx)+C，y=2x((lnx)+C) 这是该微分方程的通解 2解：dy/dx=(x+y)/3xy=(1/3)[(x/y)+(y/x)]=(1/3)[1/(y/x)+(y/x)] 令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)，代入上式得： u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u)+u] 故有x(du/dx)=1/(3u)-(2/3)u=(1-2u)/(3u) 分离变量得x/dx=(1-2u)/(3udu) 取倒数得(1/x)dx=3udu/(1-2u)=-(1/2)[d(1-2u)]/(1-2u) 两边取积分得lnx=-(1/2)ln(1-2u)+lnC=ln[C/√(1-2u)] 故得x=C/√(1-2u)]，将u=y/x代入得x=C/√[1-2(y/x))]=Cx(√x)/√(x-2y) 于是得√(x-2y)=C√x 平方去根号便得原方程的通解为：x-2y=Cx，其中C=C