Question

如果函数f(x)=1/2(m-2)x²+(n-8)x+1(m≥0，n≥0）在区间[1/2,2]上单调递减，则mn的最大值为( )

如果函数f(x)=1/2(m-2)x²+(n-8)x+1(m≥0，n≥0）在区间[1/2,2]上单调递减，则mn的最大值为( )
A 16 B.18 C 25 D.81/2
要过程啊！！ 大神们帮帮忙啊啊啊

Answer 1

设f(x)的导数为g(x)，则在区间[1/2，2] 上 g(x)=(m-2)x+(n-8)<=0
对区间[1/2，2]上的任意一点b，有 (m-2)b+(n-8)<=0
即 bm+n<=2b+8
显然上式等号成立时，即
bm+n=2b+8
时，mn能达到的值最大（因为m>=0，n>=0）。
利用不等式 (AB)^0.5<=(A+B)/2 （等号当且仅当A=B时成立）
得 (bmn)^0.5<=(bm+n)/2=b+4
mn<=(b+4)^2/b （1）
问题转化为求（1）式右边的最大值。很显然（1）式右边在[1/2，2]上是b的严格递减函数，最大值在b=1/2上取得，最大值为81/2。

Answer 2

f'(x)=(m-2）x+（n-8)
有f'(1/2)<=0,f'(2)<=0,
由f'(1/2)<=0得mn<=-1/2(m-9)^2+81/2,此时m=9取最值舍去。
由f'(2)<=0得mn<=-2(m-3)^2+18,此时m=3取最值，合适。
所以mn的最大值是18

Answer 3

要用到导数吧？

Answer 4

答案是什么呀