Question

已知关于x的一元二次方程x^2+2px+2q=0有实数根,其中p,q都是奇数，那么它的根（ ） （A）都是奇数；（B

）都是偶数；（C）有可能是真分数；（D）可能是无理数
只写选项不写原因或过程者一律按灌水处理。

Answer 1

解答：
∵方程有实数根，
∴Δ=﹙2p﹚²－4﹙2q﹚≥0
∴p²≥2q
∵p、q都是奇数，
∴可以令q=1，p=3，
∴代人方程得：
x²＋6x＋2=0
解得：x1，2=±√7－3
∴选择D

Answer 2

Δ = 4p² - 8q ≥ 0，p² ≥ 2q，p是奇数，p²仍是奇数，而2q是偶数，显然只满足p² > 2q，且p > q，p ≥ 3。假设p² - 2q有整数根，则其算数平方根必为奇数。
由一元二次方程的求根公式可得，二次方程的根为
x = (-2p ± √Δ)/2
式中|-2p| > |√Δ|，所以-2p ± √Δ < 0，又因为2p为偶数，√Δ为奇数，偶数与奇数的代数和仍为奇数。而分子是奇数，分母是2，所以该方程的根不可能是奇数，也不可能是偶数。
那么是否存在奇数p和q(p > q)，使p² - 2q是完全平方数呢？经程序计算，在1--10000范围内，没有找到这样的p和q。
那么只有答案D是对的。

Answer 3

∵p、q都是奇数
∴2p、2q都是偶数
∵x1+x2=-2p，x1x2=2q (韦达定理)
∴两根只能都是偶数
选B

Answer 4

用特殊值验证即可
Δ=4p²-4q²=4(p²-q²)≥0
取p=1,q=-1,那么方程为
x²+2x-2=0
x=[-2±√(4+8)] /2=-1±√3是两个无理数
选D

追问

Δ=4p²-8q

追答

Δ=4p²-8q对，本想给他删去，忘了删了