Question

计算积分∫(2z^2-z+1)/(z-1)^2dz,z的模等于2

计算积分∫(2z^2-z+1)/(z-1)^2dz,z的模等于2
另求z/z-1和e^z/z-1的导数
自考生一枚，求详细答案

Answer 1

∫（2z^2-z+1）/（z-1）^2dz

=∫（2z+1）（z-1）/（z-1）^2dz

=∫（2z+1）/（z-1）dz

=∫[2（z-1）+3]/（z-1）d（z-1）

=2∫d（z-1）+3∫1/（z-1）d（z-1）

=2（z-1）+3ln|z-1|

∵|z|=2

∴z=2或z=-2

∴当z=2时

∫（2z^2-z+1）/（z-1）^2dz

=2（z-1）+3ln|z-1|

=2

当z=-2时

∫（2z^2-z+1）/（z-1）^2dz

=2（z-1）+3ln|z-1|

=-6+3ln3

扩展资料：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫(2z^2-z+1)/(z-1)^2dz
=∫(2z+1)(z-1)/(z-1)^2dz
=∫(2z+1)/(z-1)dz
=∫[2(z-1)+3]/(z-1)d(z-1)
=2∫d(z-1)+3∫1/(z-1)d(z-1)
=2(z-1)+3ln|z-1|
∵|z|=2
∴z=2或z=-2
∴当z=2时，∫(2z^2-z+1)/(z-1)^2dz=2(z-1)+3ln|z-1|=2
当z=-2时，∫(2z^2-z+1)/(z-1)^2dz=2(z-1)+3ln|z-1|=-6+3ln3

追问

∫(2z+1)/(z-1)dz这个和∫[2(z-1)+3]/(z-1)d(z-1)相等么？

追答

相等。因为2z+1=2(z-1)+3, dz=d(z-1)

追问

我就是说这个是怎么相等的？dz=d(z-1)

追答

因为d(z-1)=dz-d(1)
因为常数的导数和微分都为0，所以d(z-1)=dz-d(1)=dz-0=dz

追问

那应该d(z)=d(z-n)
另处，z/z-1的导数是不是(2x-1)/(2x-2)?1/z-1的导数是不是1/2x-1??
多谢指教

追答

只要n是常数，都有d(z)=d(z-n)
这里把d(z)化为d(z-1)是为了便于计算。
这里没有说明z与x的任何关系，所以z/(z-1)的导数不能用含有x的式子来表达,但是它可以根据商的求导公式即(u/v)'=(u'v-uv')/v²来计算

追问

另：∫(2z+1)/(z-1)dz=∫[2(z-1)+3]/(z-1)dz=∫2（z-1）/(z-1)dz+∫3/(z-1)dz
=∫2dz+∫3/(z-1)d(z-1)=2∫dz+3∫1/(z-1)d(z-1)
=2z+3ln|z-1|=4或-4+3ln3？

Answer 3

因为f(z)=2z^2-z+1在|z|<=2内（为复平面上以0点为圆心，2为半径的圆）解析且在该区域边界上（|z|=2）连续
所以根据柯西积分公式高阶导数公式可得f'(1)=1!/2Πi*∫(2z^2-z+1)/(z-1)^(1+1)dz，易求得积分等于6Πi
公式具体内容可参考任意版本复变函数课本，应该就在柯西积分公式下面

Answer 4

用解析函数的无穷可微性其中的公式