Question

函数f(x)=ax-x^2-lnx设函数f(x)的极大值为M,极小值为m,若M+m>5-ln1 求a的范围

若M+m>5-ln1/2,

Answer 1

求导　f'(x)=a-2x-1/x =0　可得极值点
2x^2-ax+1=0 因为有极大值和极小值所以这个方程有两个解
所以■△=a^2-8>0 ....(1)
x1=(a+根号(a^2-8))/4 x2=(a-根号(a^2-8))/4
x>0 所以
(a+根号(a^2-8))/4>0 ....(2)
(a-根号(a^2-8))/4 >0 ---(3)
x1+x2=a/2=M+m>5-ln1/2 ----(4)
由(1)(2)(3)(4)可得a的取值范围。

追问

x1+x2=a/2=M+m>5-ln1/2 ----(4)
这一步怎么得出的？
M和m分别是函数的极大值和极小值

追答

我搞错了，
x1,x2是极大值点，极小值点
则y1,y2是极大值，极小值
则M+m=ax1-x1^2-lnx1+ax2-x2^2-lnx2
=a(x1+x2) -(x1-x2)(x1+x2) -lnx1x2 (x1x2=1/2)
=a^2/2 -a/2 *(x1-x2)-ln1/2
=a^2/2 -a/2* 根号(a^2-8))/2 -ln1/2 >5-ln1/2 ....(4)

Answer 2

思路
第一，求导得出导函数。以0为分界点得出函数的单点区间
第二，根据单调区间及极值定义求出极值
第三，将极值代入不等式 将不等式转化为关于a的不等式，从而得出a的范围。

追问

关键是求出极值后带入计算，算式非常麻烦，两个ln没有办法消除、