Question

高中数学排列组合

设实数a1<a2<a3<a4<a5将这5个实数排成一排要求a1a2不相邻，且其中任意相邻三个实数ai,aj,ak(i,j,k)属于（1，2，3，4，5）满足“aj>ai且aj>ak”或“aj<ai且aj<ak”则不同的排列法总数有

Answer 1

首先考虑a3,a4,a5

只有4种排列方式，即a3在中间或a5在中间.
（1）a3,a5,a4 （2）a4,a5,a3 （3）a4,a3,a5 （4）a5,a3,a4

其次考虑a1,a2的位置.
（1）的情况采用插空法：只有a1a3a2a5a4，a3a1a5a2a4，a3a5a1a4a2，考虑到a1与a2可交换，有6种不同的排列.
（2）同（1）可得有6种不同的排列；
（3）同（1）可得有6种不同的排列；
（4）同（1）可得有6种不同的排列.

综上，共有24种不同的排列.

Answer 2

。。。。。表示5个位置。
从满足那里入手
aiajak
“aj>ai且aj>ak”:
。aj1aj2aj3。中间三个互相比互相大，互相比互相小。不可能实现。
“aj<ai且aj<ak”同理不可能实现，（即j不在中间）
ajaiak
“aj>ai且aj>ak”:aj5>aj4>aj3>aj2>aj1本可以实现，但a1a2不相邻，则怎么排都不符合。
aj1aj2aj3aiak,aj1<aj2<aj3<ai<ak，本可以实现，但a1a2不相邻，则怎么排都不符合。
只有aiakaj了
应与ajaiak情况相同。
故，排列法总数有0种。

Answer 3

答案28。
我用计算机程序穷举的，计算量很小。全部可能如下：
[1, 3, 2, 5, 4], [1, 4, 2, 5, 3], [1, 4, 3, 5, 2], [1, 5, 2, 4, 3],
[1, 5, 3, 4, 2], [2, 3, 1, 5, 4], [2, 4, 1, 5, 3], [2, 4, 3, 5, 1],
[2, 5, 1, 4, 3], [2, 5, 3, 4, 1], [3, 1, 4, 2, 5], [3, 1, 5, 2, 4],
[3, 2, 4, 1, 5], [3, 2, 5, 1, 4], [3, 4, 1, 5, 2], [3, 4, 2, 5, 1],
[3, 5, 1, 4, 2], [3, 5, 2, 4, 1], [4, 1, 3, 2, 5], [4, 1, 5, 2, 3],
[4, 2, 3, 1, 5], [4, 2, 5, 1, 3], [4, 5, 1, 3, 2], [4, 5, 2, 3, 1],
[5, 1, 3, 2, 4], [5, 1, 4, 2, 3], [5, 2, 3, 1, 4], [5, 2, 4, 1, 3].
凡是能穷举的都不是好的计数问题。即使把a5改成a8，一瞬间就算出9204。