Question

已知a=（cosx,sinx）,b=（根号3cosx,cosx）,设函数f（x）=2a·b-根号3

求f（x）的最小正周期
求f（x）的最大值及取得最大值时的自变量x的值的集合

Answer 1

解: 向量2a=(2cosx,2sinx)
2a.b=2√3cos^2x+2sinxcosx.
f(x)=2a.b-√3.
=2√3cos^2x+2sinxcosx-√3.
=2√3[(1+co2x)/2]+sin2x-√3.
=√3+√3cos2x+sin2x-√3.
=√3cos2x+sin2x.
=2(√3/2cos2x+1/2sin2x).
∴f(x)=2sin(2x+π/3).
f(x)的最小正周期T=2π/2=π.
当sin(2x+π/3)=1时,函数f(x)具有最大值f(x)max,且f(x)max=2.
此时,自变量x的集合为:
2x+π/3=2kπ+π/2.
x=(2kπ+π/2-π/3)/2.
=kπ+π/12.
∴{x|x=kπ+π/12, k∈Z} ---所求x值的集合.

Answer 2

f（x）=2*（根号3*cosx*cosx+cosx*sinx）-根号3
=根号3*（2cosx*cosx-1）+2cosx*sinx
=根号3*cos2x+sin2x=2*（根号3*cos2x/2+sin2x/2）
=根号3*（sinπ/3*cos2x+cosπ/3*sin2x）=根号3*sin（π/3+2x）
最小正周期0≤π/3+2x≤2π得-π/6≤x≤5π/6
最小值：π/3+2x=2kπ-π/2 得x=kπ-5π/12 k∈N
最大值：π/3+2x=2kπ+π/2 得x=kπ+π/12 k∈N

Answer 3

解：根据题意，求出函数
f(x)=2sin(2x+π/3)
∴T=π
当f(x)取到极值时
f'(x)=4cos(2x+π/3)=0
此时：2x+π/3=π/2+kπ
所以，所求x的取值为：
x=π/12+kπ/2