Question

数学抛物线

已知抛物线C:x^2=4y，过焦点F的直线L与抛物线交于A,B两点（A在第一象限）。 一，当S(三角形OFA)＝2S(三角形OFB)时，求直线L的方程？ 二，过点A(2t,t^2)作抛物线C的切线L1与圆x^2+(y+1)^2=1交于不同的两点M,N，设F到L1的距离为d，求|MN|/d的取值范围？

Answer 1

已知抛物线C:x²=4y，过焦点F的直线L与抛物线交于A,B两点（A在第一象限）；一，当S(△OFA)＝2S(△OFB)时，求直线L的方程？ 二，过点A(2t，t²)作抛物线C的切线L₁与圆x²+(y+1)²=1交于不同的两点M,N，设F到L₁的距离为d，求|MN|/d的取值范围？

解：一。抛物线参数：2p=4，p=2，p/2=1，故焦点F(0，1)；设过焦点F的直线L的方程为：
y=kx+1，代入抛物线方程得x²=4(kx+1)，即有x²-4kx-4=0.............(1)
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；则
S(△OFA)=(1/2)∣OF∣x₁=(1/2)x₁；
S(△OFB)=(1/2)∣OF∣∣x₂∣=-(1/2)x₂；
已知S(△OFA)＝2S(△OFB)，故有(1/2)x₁=-x₂，即得(1/2)x₁+x₂=0；即有x+2x₂=0.............(2)
按维达定理，由(1)得x₁+x₂=4k，故得x₁=4k-x₂；代入(2)式得4k+x₂=0，故x₂=-4k，点B(x₂，y₂)在L上，故其坐标满足L的方程，于是代入(1)式得16k²+16k²-4=32k²-4=0，故得k²=1/8，k=1/(2√2)=(√2)/4；故L的方程为y=[(√2)/4]x+1.
二。将抛物线方程写成y=(1/4)x²，取导得y'=(1/2)x；点A(2t，t²)在抛物线上，故得过A的切线L₁的斜率=t，其方程为y=t(x-2t)+t²=tx-t²,即有tx-y-t²=0.............(3)；
F(0，1)到L₁的距离d=∣-1-t²∣/√(t²+1)=(t²+1)/√(t²+1)=√(t²+1)；
当切线L₁过园心(0，-1)时，将园心坐标代入(3)式得1-t²=0,于是得t=±1，此时d=√2，∣MN∣=2
故此时∣MN∣/d=2/√2=√2；
当L₁与园在原点(0，0)相切时,∣MN∣=0，d=∣OF∣=1，故此时∣MN∣/d=0；
当L₁与园在非原点相切时，同样有∣MN∣=0,此时d>1，但总有∣MN∣/d=0；
故0≦∣MN∣/d≦√2，这就是∣MN∣/d的取值范围。