Question

AD为三角形ABC外接圆的直径,AD垂直于BC，垂足为F，角ABC的平分线交AD于点E，连接BD,CD

（1）以点E为圆心，以EF为半径画圆E，求证:AC与圆E相切。
（2）已知AD=10，DF=3.6，求DE的长。

Answer 1

⑴AB是直径，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴AD平分∠BAC，
∵BE平分∠ABC，∴E为ΔABC的内心，∴CE平分∠ACB。
过E作EG⊥AC，则EF=EG，
∴⊙E与AC相切。
⑵∵AD是直径，∴∠ACD=90°=∠AGE，
∴EG∥CD，∵EG⊥AC，AG=CG(垂径定理)，
∴AE=DE=1/2AD=5。

Answer 2

（1）
∵AD⊥BC
∴AB=AC，
∴AD平分∠BAC
∵BE平分∠ABC
∴E为ΔABC的内心
∴CE平分∠ACB。
过E作EH⊥AC，则EF=EH，（角平分线上的点到角两边距离相等）
∴⊙E与AC相切。

⑵∵AD=10为直径
∴∠ACD=90°=∠AGE（直径所对的圆周角为90°）
∴EH∥CD，∵EH⊥AC，AH=CH(垂径定理)，
∴AE=DE=1/2AD=5。

（我把楼上的润色了一下）