Question

（1）如图①，AB∥CD,你能证明∠B+∠D =∠BED吗？你有几种证明方法？

（2）如图②，AB∥CD,求证：∠B —∠D =∠E

Answer 1

同学你好

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Answer 2

七年级下数学难题。(2011·扬州)如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝________.
答案　105°
解析　如图，∵(60°＋∠CAB)＋(45°＋∠ABC)＝180°，∴∠CAB＋∠ABC＝75°，在△ABC中，得∠C＝105°.
12．如图所示，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，DE∥AC.
(1)求∠DEB的度数；
(2)求∠
EDC的度数．
解　(1)在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝70°.
∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠ACB＝70°.
(2)∵CD平分∠ACB，
∴∠DCE＝∠ACB＝35°.
∵∠DEB＝∠DCE＋∠EDC，
∴∠EDC＝70°－35°＝35°.
13．已知，如图，∠1＝∠2，CF⊥AB于F，DE⊥AB于E，求证：FG∥BC.(请将证明补充完整)
证明　∵CF⊥AB，DE⊥AB(已知)，
∴ED∥FC(　　　　　　　　)．
∴∠1＝∠BCF(　　　　　　　　)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠2＝∠BCF(等量代换
)，
∴FG∥BC(　　　　　)．
解　在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
14．如图，已知三角形ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
分析：通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线不同而得多种证法，如下：
证法1：如图甲，延长
BC到D，过C画CE∥BA.
∵BA∥CE(作图所知)，
∴∠B＝∠1，∠A＝∠2(两直线平行，同位角、内错角相等)．
又∵∠BCD＝∠BCA＋∠2＋∠1＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．
　　　
如图乙，过BC上任一点F，画FH
∥AC，FG∥AB，这种添加辅助线的方法能证明∠A＋∠B＋∠C＝180°吗？请你试一试．
解　∵FH∥AC，
∴∠BHF＝∠A，∠1＝∠C.
∵FG∥AB，
∴∠BHF＝∠2，∠3＝∠B，
∴∠2＝∠A.
∵∠BFC＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，
即∠A＋∠B＋∠C＝180°.
15．(2010·玉溪)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图a，若AB∥CD，点
P在AB、
CD外部，则有∠B＝∠BOD.又因
∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
(2)在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)
(3)根据(2)的结论求图d中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
解　(1)不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED.
又∠BPD＝∠BED＋∠D，
∴∠BPD＝∠B＋∠D.
(2)结论：∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D.
(3)设AC与BF交于点G.
由(2)的结论得：∠AGB＝∠A＋∠B＋∠E.
第14题
又∵∠AGB＝∠CGF
，∠CGF＋∠C＋∠D＋∠F＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
14．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE是
度．
2．如图，在△ABC和△ABD中，现给出如下三个论断：①AD＝BC；②∠C＝∠D；③∠1＝∠2。请选择其中两个论断为条件，一个论断为结论，另外构造一个命题．
（1）写出所有的正确命题（写成“
”形式，用序号表示）：．
（2）请选择一个正确的命题加以说明．你选择的正确命题是：
说明：
3．如图，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝50°，求∠A和∠D.
4．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AB，垂足为G，那么∠AHE＝∠CHG吗？为什么？
5．如图17，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是
，AB=20厘米，AC=8厘米，求DE的长．
第5题
6．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，AB=DB，AC=DE．请你判断∠D与∠A的关系，并说明理由．
第6题
7．如图，AD=BC，DC=AB，AE=CF，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由．
第7题
8．如图，已知M在AB上，BC=BD，MC=MD．请说明：AC=AD．
第8题
9．如图，
在△ABC中，AB=AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分为21厘米
12厘米两部分，求△ABC各边的长.
D
A
B
C
10．已知AE⊥BD，CF⊥BD，且AD=BC，BE=DF，试判断AD和BC的位置关系.说明你的结论．
11．如图，∠ACB=∠BDA=90°，AD=BC，AB//CD．试说明：∠1=∠2．
12．如图3，AC⊥BD，AC=DC，CB=CE，试说明：DE⊥AB．
13．如图，已知AB//DE，AB=DE，BE=CF，试说明△ABC≌△DEF的理由.
小明的说理过程如下：
因为AB//DE，所以∠1=∠2，
在△ABC和△DEF中
因为BE=CF，∠1=∠2，AB=DE，所以△ABC≌△DEF（SAS）.
小明的说理正确吗？若不正确，请你指出错误，帮助小明走出说理误区.
14．如图2，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠D=∠C，试说明AC与BD全等的理由.
小华的说理过程如下：
在△ABD和△BAC中，
因为AD=BC，AB=BA，∠C=∠D，
所以△ABD≌△BAC（SSA）
所以AC=BD.
3．（10分）如图15，在△ABC中，点D在AB上，BD=BE，
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，
并说明理由，你添加
的条件是
理由是：
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形
（只要求写出一对
全等三角形，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母，不必说明理由）．
4．（10分）已知：如图16，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝
∠ADE＝90°，试以图中标有的字母的点为端点，连接两条线
段，如图你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的
一种，那么请你把它写出来并证明．
1.
现有两根棍子长分别为3厘米，5厘米，若要选第三根棍子，使其与前两根拼成一个三角形，则它的长可为（
）
A.1厘米
B.2厘米
C.5厘米
D.10厘米
E
D
C
B
A
图1
图2
2.如图1所示，AD是△
ABC的高，延长BC至E，使CE＝BC，△ABC的面积为S1，△
ACE的面积为S2，那么（
）
A.S1＞S2
　　　
B
.S1＝S2
　　C.S1＜S2
　　D.不能确定
2．三角形的三边长分别为5，
，8，则
的取值范围是_　　　　　．
3.（10分）如图16，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AB，垂足为G，那么∠AHE＝∠CHG吗？为什么？
图17
E
D
C
B
A
G
H
F
图16
4.
（10分）如图17，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是
，AB=20厘米，AC=8厘米，求
DE的长．
四、拓广探索！（本大题共22分）
1．（10分）如图18，在△ABC
中，点D在AB上，BD=BE，
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，
并说明理由，你添加的条件是
理由是：
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形
（只要求写出一对全等三角形，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母，不必说明理由。）
2．（12分）（1）如图19①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝______，∠XBC+∠XCB＝______.
（2）如图19②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小.
②
①
三、解答题
21，
先画两条已知线段a和b(a＞b)，然后再画出线段AB＝a－b.
22，如图，已
知AE∥BD，∠1＝3∠2，∠2＝28°.求
∠C.　
（图22）
23，如图，已知l∥m，求∠x，∠y的度数.
24，如图，直线l1，l2，分别和直线l3，l4，相交，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠4＝115°.求∠3的度数.
25，如图，已知∠C＝∠D，DB∥EC.AC与DF平行吗？试说明你的理由.
（图25）
26，如图，AB、AE是两条射线，∠2+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠5＝180°，求∠1+∠2+∠3的度数.
27，如图，已知DB∥FG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝60°，AP是∠BAC的平分线.求∠PAG的度数.
28，如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝13
0°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？
C
F
A
B
E
D
29，如图，
已知：AB⊥BF，CD⊥BF，∠BAF＝∠AFE.试说明∠DCE+∠E＝180°的理由.
7、如图，AB∥CD，直
线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2=________
___.
8、如图，DE∥BC，∠DBE=40°，∠EBC=25°
，则∠BED=___________度，∠BDE=___________度.
9、已知，如图，∠1=∠2，AB∥CD，∠A=105°，∠ABD=35°，则∠BDE=___________度，∠ABC=___________度.
10、如图，AB∥CD，且∠1=42°，AE⊥EC于E，则∠2=__________度.
三、认真答一答（每小题10分，共60分）
1、如图所示的长方形台球桌面上，如果∠1=∠2=30°，那么∠3等于多少度？∠1与∠3有什么关系？
2、给下列证明过程写理由.
　　已知：如图，
AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF.
　　证明：∵
AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（　　　　　
）
　　　　　∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°（　　　　　
）
　　　　　∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余（　　　　　
）
　　　　　又∵∠1=∠2（　　　　　
）
，
　　　　　∴__________=___________（　　　　　
）
　　　　　∴BE∥CF（　　　　　
）
.
3、如图，
已知AF平分∠BAC，DE平分∠BDF，且∠1=∠2.
　　（1）能判定DF∥AC吗？为什么？
　　（2）能判定DE∥AF吗？为什么？
4、如图，已知AB∥CD，AD∥BC，求证：∠A=∠C，∠B=∠D.
5、如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：∠BEF=∠EFC.
6、已知∠α、∠β，用尺规作一个角，使它等于2∠α－∠β.
答案：
三、1．∠3=60°，∠1与∠3互余.
2．已知　　垂直定义　　互余定义　　等角的补角相等
　　　∠3　　∠4　　内错角相等，两直线平行
3．（1）能判定DF∥AC，可以证明，∠BDF=∠BAC，则由同位角相等，两直线平行来判定.
　　（2
）能判定DE∥AF，可证∠1=∠BAF，则同位角相等，两直线平行.
4．AB∥CD，∴
∠B＋
∠C=180°，∠A＋∠D=180°
　　　　
　　　又
AD∥BC
　　　∴
∠A＋∠B=180°，∠C＋∠D=180°
　　　∴
∠B=∠D，∠A=∠C

Answer 3

优过E点做FG平行于AB，因为AB平行于CD，所以AB平行于FG平行于CD，所以角ABE等于角BEG，角CDE等于角GED，所以角B加角D等于角BED，还有一种是连接BD利用角平分线和同旁内角互补

Answer 4

BE交CD于F 因为∠B=∠CFE 而∠CFE=∠D+∠E 所以∠B-∠D=∠E