Question

定积分问题求解~题目如图，诚求过程~

设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)>0,证明方程∫(x,a)f(t)dt+∫(x,b)[1/f(t)]dt=0在(a,b)内有且仅有一根

Answer 1

1. 令F(x)=∫(x,a)f(t)dt+∫(x,b)[1/f(t)]dt
   

   F（a）=∫(a,b)1/f(t)dt <0

   F(b)=∫(b,a)f(t)dt＞0

   所以

   由零点定理知，至少有一根；

2. F'(x)=f(x)+1/f(x)≥2＞0

   即函数F(x)单调递增，所以

   最多一根，

   从而

   方程∫(x,a)f(t)dt+∫(x,b)[1/f(t)]dt=0在(a,b)内有且仅有一根。