Question

已知：等边三角形ABC的边长

等边三角形ABC的边长为2，D,E分别是AB,Ac的中点，沿DE将三角形ADE折起，是AD垂直DB，连AB,AC，得如图所示的四棱锥A-BCED
（1）求证：AC垂直平面ABD
(2)求四棱锥A-BCED的体积

Answer 1

1证明：

连接CD，BE交于O

∵C，D是等边三角形ABC的中点

∴DE||BC

∴CD⊥DB，BE⊥CE

沿DE将（等边）三角形ADE折起

∵AD⊥DB，

由于对称性

∴AE⊥EC

∴DB⊥面ADC

∴BD⊥AC。。。。。1式

等边三角形边长=2

∴AD=DB=1

同理AE=EC=1

∴△ADB和△AEC是等腰直角三角形

∴AB=AC=√2

∵AB²+AC²=BC²=4

∴AB⊥AC。。。。。。2式

由1,2式，得

AC⊥面ABD

2。

连接AO

O是平面时等边△ABC的三边中线交点即重心

DO：OC=1:2

∵DB⊥面ADC

∴DB⊥AO

同理EC⊥面ABE

∴EC⊥AO

∵DB，EC在平面内是相交直线

∴AO⊥面DBCE

∴四棱锥A-BCED的体积=1/3AO*SBCED

Rt△ADC中（右图）

DC=√3

∵DO：OC=1:2

∴DO=√3/3,OC=2√3/3

∵AO²=DO*OC（射影定理)

∴AO=√6/3

S等腰梯形BCED=S等边△ABC（平面时）-S等边△ADE=√3-√3/4=3√3/4

四棱锥A-BCED的体积=1/3AO*SBCED

=1/3*√6/3*3√3/4

=√2/4

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