Question

设z=z(x,y)是由方程f(y/x,z/x)=0确定的隐函数,其中f具有一阶连续偏导数,求全微分DZ

Answer 1

隐函数f(y/x,z/x)=0
求偏导：
af/ax=f1*(y/x)'+f2*(z/x)'=(-yf1-zf2)/x^2
af/ay=f1*(y/x)'=f1/x
af/az=f2*(z/x)'=f2/x
因此，由该隐函数确定的函数z=z(x,y)的偏导数为：
az/ax=-(af/x)/(af/az)=-[(-yf1-zf2)/x^2]/(f2/x)=[(yf1+zf2)/x^2]/(f2/x)=(yf1+zf2) / xf2
az/ay=-(af/y)/(af/az)=-(f1/x)/(f2/x)=-f1/f2
于是，
dz
=(az/ax)dx+(az/ay)dy
={[(yf1+zf2)/x^2]/(f2/x)=(yf1+zf2) / xf2}dx+(-f1/f2)dy
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