Question

求证一道线性代数题

A和B是n*n矩阵
1)若A和B是nonsingualr 求证AB的特征多项式等于BA的特征多项式
2)若A和B 是singualr 求证AB的特征多项式等于BA的特征多项式

Answer 1

1) 因为A可逆
所以 A^-1(AB)A = BA
即 AB 与 BA 相似
所以 AB 与 BA 的特征多项式相同
-- 注: A,B 中有一个可逆即可用这个方法证明

2) 当A,B 都不可逆时, 用微扰法.
考虑 A+xE.
它的行列式是x的多项式, 最高次幂是 x^n
所以当x足够大时, A+xE 的行列式不等于0, 即 A+xE 可逆
则由(1)知 (A+xE)B 与 B(A+xE) 的特征多项式相同
将它们的特征多项式看作x的多项式
由于对无穷多的x它们相同
故对任意x它们相同
特别是 x=0 时也相同
故 AB 与 BA 的特征多项式相同.

Answer 2

利用分块矩阵，证明如下图所示，点击放大。

追问

不好意思看不太懂 有没有不用分块矩阵的方法啊