Question

一道线性代数证明题

求证：如果线性方程组
a(11)x(1)+a(12)x(2)+...+a(1n)x(n)=b(1)
a(21)x(1)+a(22)x(2)+...+a(2n)x(n)=b（2）
.......................
a（n1）x（1）+a（n2）x（2）+...+a（nn)x(n)=b(n)
a(n+1,1)x(1)+a(n+1,2)x(2)+...+a(n+1,n)x(n)=b(n+1)
有解，则它的增广矩阵行列式等于零。
说明：小括号里的数字，字母代表下标。有兴趣的可以把它抄下来写成习惯看的样子。

Answer 1

设A为系数阵，b为右端向量，则增广阵记为[A,b]
方程组有解，无论是唯一解，还是无穷多解，都有秩A=秩[A,b]。而A的秩必然小于或等于n，即绝对不会达到n+1，所以增广阵[A,b]的秩<n+1，据此，说明增广阵是降秩阵，行列式必为零

Answer 2

A就是方程的系数矩阵,有解,说明增广矩阵的序=A的序
A是 n+1 X n
序<=n
增广矩阵是(n+1) X (n+1)
所以序<=n

则它的增广矩阵行列式等于零

Answer 3

这个例子书上都有原题啊