Question

用分部积分法求下列不定积分。（附图）2,6,9,15小题请详解，谢谢！

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Answer 1

2。∫xe^(2x)dx=(1/2)∫xde^(2x)=(1/2)[xe^(2x)-∫e^(2x)dx]=(1/2)[xe^(2x)-(1/2)e^(2x)]+C
=(1/2)[x-(1/2)]e^(2x)+C
6。∫x²(e^x)dx=∫x²d(e^x)=x²e^x-2∫x(e^x)dx=x²e^x-2∫xd(e^x)=x²e^x-2[xe^x-∫(e^x)dx]
=x²e^x-2[xe^x-(e^x)]+C=(x²-2x+2)e^x+C
9。∫x²sinxdx=-∫x²d(cosx)=-[x²cosx-2∫xcosxdx]=-[x²cosx-2∫xd(sinx)]=-[x²cosx-2xsinx+∫sinxdx]
=-[x²cosx-2xsinx-cosx]+C=-x²cosx+2xsinx+cosx+C
15。∫(e^x)cosxdx=∫(e^x)d(sinx)=(e^x)sinx-∫sinxe^xdx=(e^x)sinx+∫(e^x)dcosx
=(e^x)sinx+(e^x)cosx-∫cosx(e^x)dx
移项得∫(e^x)cosxdx=(1/2)(sinx+cosx)e^x+C.