Question

矩阵A的秩与A的伴随矩阵的秩的关系？

我做考研题时碰到的问题，这种题考研考不?

Answer 1

矩阵A的秩与A的伴随矩阵的秩的关系：

1、如果 A 满秩，则 A* 满秩；

2、如果 A 秩是 n-1，则 A* 秩为 1 ；

3、如果 A 秩 < n-1，则 A* 秩为 0 。（也就是 A* = 0 矩阵）

矩阵满秩，R（A）=n，那么R（A-1）=n，矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等，而且初等变换不改变矩阵的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n

R（A）=n-1，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：

AA*=|A|E=0，从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以R（A*）=1

R（A）<n-1,那么A的所有n-1阶子式全为零，A*即为零（规定：零矩阵的秩为零），故R（A*）=0

扩展资料

矩阵的秩的性质：

1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

2、 初等变换不改变矩阵的秩。

3、 矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。

4、P，Q为可逆矩阵，则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。

5、当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

6、当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

Answer 2

必考。
如果A是满秩，那么其伴随矩阵也是满秩;
如果A（n阶矩阵）的秩是n-1，那么伴随矩阵的秩是1；
如果A的秩是小于n-1的话，伴随矩阵的秩是0.
这个是有计算方法的，你可以看书后能做，我建议用清华的黄色书面版本的《线性代数》教材，非常好。
祝愿你考研成功！！

Answer 3

如果A是满秩，那么其伴随矩阵也是满秩;

如果A（n阶矩阵）的秩是n-1，那么伴随矩阵的秩是1；

如果A的秩是小于n-1的话，伴随矩阵的秩是0。

矩阵满秩，R（A）=n，那么R（A-1）=n，矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等，而且初等变换不改变矩阵的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n

R（A）=n-1，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：

AA*=|A|E=0，从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以R（A*）=1

R（A）<n-1,那么A的所有n-1阶子式全为零，A*即为零（规定：零矩阵的秩为零），故R（A*）=0

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根据伴随矩阵的元素的定义：每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以（-1）的i+j次方的代数余子式。有：

1.当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；

2.当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;

3.当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。

Answer 4

我来证明楼上的结论。

矩阵的秩：n阶矩阵中有存在k阶子式不为零，所有高于k阶的子式全为零，那么这个矩阵的秩就k。

1. 矩阵满秩，R（A）=n，那么R（A-1）=n，矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等，而且初等变换不改变矩阵的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n

2. R（A）=n-1，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
   AA*=|A|E=0，从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以R（A*）=1

3. R（A）<n-1,那么A的所有n-1阶子式全为零，A*即为零（规定：零矩阵的秩为零），故R（A*）=0

Answer 5

因为原矩阵的任意一个n-1阶子阵都是0，而初等变换不改变矩阵的秩以及其伴随的秩假设是n阶矩阵，矩阵的秩为n时，伴随矩阵秩也是n，因为矩阵可逆，所以行列式非零矩阵的秩是n-1时，化成标准型后轻松看出伴随的秩是1矩阵的秩小于n-1时，伴随的秩是0，伴随矩阵的秩是1。