Question

关于平方数和立方数

对于一切立方数和平方数，立方数与平方数为相邻整数的情况有多少种？

请详细论证，谢谢

Answer 1

原问题等价于求方程:
x^2+1=y^3和x^2-1=y^3

在整数域内的整数解.

当:x^2+1=y^3时:

有:

(x+i)(x-i)=y^3

因x+i,x-i∈Z[i].

于是问题等价于在Z[i]上求方程的解。

考虑(x+i,x-i)=(2x,2i)=d

故d|2i.若d=2或2i，则：

(x+i)/2i∈Z[i]这是不可能的.故d=1或i.

可以考虑d=1.则：

x+i=(a+bi)^3,(x-i)=(a-bi)^3

得：2i=2bi(3a^3-b^2).

解得a=0,b=-1.

故有唯一解：

x=0，y=1.

当x^-1=y^3时：

有：

(x-1)(x+1)=y^3.

类似于上述做法,令d=(x-1,x+1).

得d|2.若d=1，则x+1=m^3,x-1=n^3

则m>n,并且：m^3-n^3=2.。。。。。(1)

显然上述方程在整数域上无解,因：

m>=n+1.有：

m^3-n^3>=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1>=6.

当n!=0，-1时，上述不等式在整数域上恒成立,故(1)无解。

所以d=2.

当d=2时：

令x=2m+1,y=2t

原方程变为：

m(m+1)=2t^3.

若2|m，令m=2s.

有s(2s+1)=t^3.

因(s,2s+1)=1.

故s=a^3,2s+1=b^3.

得：b>a,1=b^3-2a^3。。。。。(2)

1=|b^3-2a^3|,知满足右不等式的解b=1或-1 ,a=0或-1,

再结合(2)，得：

b=1,a=0

于是有：

x=1,y=0.

若有2|m+1,令m=2s-1.

有：

(2s-1)s=t^3

得：

s=a^3,2s-1=b^3.。。。(3)

1=2a^3-b^3

结合(3)，解为:

a=1,b=1.或a=0,b=-1

故:

x=0,y=-1或x=3,y=2

于是满足x^2-1=y^3的解只有：

x=0,y=-1.x=1,y=0.x=3,y=2.

于是平方数与立方数相邻的数对只有：

(-1,0).(0,1).(8,9)除此外别无他例。

Answer 2

我们从两个情况讨论，一个是立方数大，一个是平方数大。（两个都是大于等于-1的，因为有个平方数）
如果立方数大，就是a^3-b^2=1，有（a-1）(a^2+a+1)=b^2，又因为等号左边第二项比第一项大，所以有a-1|a^2+a+1，右边可以化成a^2-a+2a-2+3，可以推出a-1|3，a只能等于4或者1或者0。对应的b：只有(a,b)=(1,0)这一组。
如果平方数大，就是b^2-a^3=1，同理可得b^2=(a+1)(a^2-a+1)，当a大于1时第二项大于第一项，有a+1|a^2-a+1，a+1|a^2+a-2a-2+3，推出a+1|3，a只能等于-1或2，对应的b：只有(2,3)这一组。如果a小于等于1，那么只能取-1,0,1，对应的b：只有：(a,b)=(0,1)。
综上：立方数与平方数相邻只有（1,0）和（8,9）这两组。
刚发现有点儿问题，我再想想。这样不全。
这个问题我感觉有难度啊，我暂时还做不出来。

追问

您只考虑了a-1|a^2+a+1 和a+1|a^2-a+1

事实上这两个整式之间没有明显关系的，您也应该发觉了

我也是卡在这里。。。。。。