Question

如图，三角形ABC为等边三角形，D，F分别是BC，AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE

连接DF和CE，当CD为多长是，ΔFBD是直角三角形?并求出此时的四边形CDFE的对角线CE的长
还有三角形ABC边长为4

Answer 1

解：1.∵△ABC为等边三角形
∴∠B=60°
又∵ΔFBD是直角三角形
∴cos∠B=BF：BD=1：2
又∵CD=BF，CB=4
∴CD=4/3
2.AD²=AC²+CD²-2AC·CD·cos∠ACD（余弦定理）
AD²=4²+4/3²-2×4×4/3·cos60°
AD²=112/9
AD=4√7/3
cos∠CAD=（AC²+AD²-CD²）/2AC·AD=5√7/14
∵cos∠CAD²+sin∠CAD²=1
∴sin∠CAD=√21/14
∵△ADE为等边三角形，△ABC为等边三角形
∴AE=AD=4√7/3，∠BAE+∠BAD=60°=∠BAD+∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
CE²=AE²+AC²-2AE·AC·cos∠CAE
CE²=AE²+AC²-2AE·AC·cos∠CAE
CE²=AE²+AC²-2AE·AC·cos（∠BAE+60°）
CE²=AE²+AC²-2AE·AC·cos∠BAE·cos60°+2AE·AC·sin∠BAE·sin60°
CE²=4√7/3²+4²-2×4√7/3×4×5√7/14×1/2+2×4√7/3×4×√21/14×√3/2
CE²=112/9+16-40/3+8
CE²=208/9
CE=4√13/3

Answer 2

CD=1/3BC 时，满足题意！且角BFD为90度，cd=4/3

追问

要不要这么简单啊

Answer 3

(1)由等边三角形有角B=角C,AC=BC,再加上BF=CD,得三角形ACD全等三角形CBF(SAS)。
(2)由平行四边形对角相等得角DCF=30，则
F为AB的中点（等边三角形三线合一），所以D为BC的中点。由第一问全等得AD=CF，又AD=DE所以CF=DE。又角ADB=90，ADE=60，故BDE=90-60=30，所以DCF=BDE，推出DE//CF。DE//=CF,故四边形CDEF是平行四边形

Answer 4

解：
1、因为ΔABC为等边三角形
所以角B=60°
满足ΔFBD为直角三角形，则必须满足BD=2BF
又因为CD=BF，ΔABC为等边三角形
所以：AF=BD
所以：BD=2CD
即当CD等于等边ΔABC的边长1/3时，ΔFBD是直角三角形。
2、令等边ΔABC的边长为a,