Question

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Answer 1

第一题：
∵a(n＋1)＝a(n)＋（2n－1），∴a(n)＝a(n－1)＋［2（n－1）－1］，
∴a(n＋1)－a(n)＝a(n)－a(n－1)＋2。
令a(n)－a(n－1)＝b(n－1)，则：a(n＋1)－a(n)＝b(n)，∴b(n)＝b(n－1)＋2，
∴b(n)－b(n－1)＝2。
显然有：b(1)＝a(2)－a(1)＝2×1－1＝1，且数列｛b(n)｝是以2为公差的等差数列，
∴b(n)＝1＋2（n－1）＝2n－1。

依次令n＝2、3、······、n，得：
b(1)＝a(2)－a(1)＝1，
b(2)＝a(3)－a(2)＝3，
b(3)＝a(4)－a(3)＝5，
······，
b(n)＝a(n＋1)－a(n)＝2n－1，
以上n个等式相加，得：a(n＋1)－a(1)＝n［1＋（2n－1）］/2＝n^2，
∴a(n＋1)＝n^2＋1＝［（n＋1）－1］^2＋1＝（n＋1）^2－2（n＋1）＋2，
∴a(n)＝n^2－2n＋2。

第二题：
∵a(n＋1)＝2a(n)/［a(n)＋2］，∴a(n＋1)·a(n)＋2a(n＋1)＝2a(n)，
∴1＋2/a(n)＝2/a(n＋1)，∴1/a(n＋1)－1/a(n)＝1/2。
依次令n＝1、2、3、·····、n，得：
1/a(2)－1/a(1)＝1/2，
1/a(3)－1/a(2)＝1/2，
1/a(4)－1/a(3)＝1/2，
·····，
1/a(n＋1)－1/a(n)＝1/2，
以上n个等式相加，得：1/a(n＋1)－1/a(1)＝n/2，∴1/a(n＋1)＝1/a(1)＋n/2＝1＋n/2，
∴a(n＋1)＝1/（1＋n/2）＝2/（n＋2）＝2/［（n＋1）＋1］，
∴a(n)＝2/（n＋1）。