Question

在四边形ABCD中,AD平行于BC,∠BAC=∠D,点E,F分别在BC,CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的关系

Answer 1

解析：（1）AE=EF

（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H，则∠BAC+∠1=1800，∠BAC=∠2.
∵AB=BC ∴∠BAC=∠3 ∴∠2=∠3 ∴EH=EC
∵AD‖BC ∴∠D+∠DCB=1800.
∵∠BAC=∠D ∴∠1=∠DCB=∠ECF
∵∠4=∠5, ∠AEF=∠ACF ∴∠6=∠7
∴△AEH≌△FEC ∴AE=EF

(3)猜想：（1）中的结论发生变化
证明：由（2）可得∠6=∠7
∠1=∠DCB=∠ECF
∴△AEH∽△FEC
∴ AE/EF=EH/EC
∵EH‖AB
∴△ABC∽△HEC
∴EH/Ec=AB/BC=k
∴AE/EF=k

追问

有图么，角1234是什么

追答

（不用角1234了）

解：（1）AE=EF；
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H．
则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC=AC，∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°，
∴EH=EC．
∵AD‖BC，∴∠FCE=180°-∠B=120°，
又∠AHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠AHE=∠FCE，
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（2）猜想：（1）中的结论是没有发生变化．
证明：如图：过点E作EH‖AB交AC于点H，则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB∴EH=EC
∵AD‖BC∴∠D+∠DCB=180°．
∵∠BAC=∠D∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；

（3）猜想：（1）中的结论发生变化．
证明：过点E作EH‖AB交AC于点H．
由（2）可得∠EAC=∠EFC，
∠AHE=∠DCB=∠ECF，
∴△AEH∽△FEC，
∴AE：EF=EH：EC，
∵EH‖AB，
∴△ABC∽△HEC，
∴EH：EC=AB：BC=k，
∴AE：EF=k，
∴AE=kEF．

Answer 2

解：（1）证明：如图1，过点E作EH∥AB交AC于点H．
则∠BAC+∠AHE=180°，∠BAC=∠CHE，
∵AB=BC=AC，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°，
∴EH=EC．
∵AD∥BC，
∴∠FCE=180°-∠B=120°，
又∵∠AHE=180°-∠BAC=120°，
∴∠AHE=∠FCE，
∵∠AOE=∠COF，∠AEF=∠ACF，
∴∠EAC=∠EFC，
∴△AEH≌△FEC，
∴AE=EF；