Question

超难数学尺规作图 高手进

Answer 1

已知：∠A内一点P

求作：以P为顶点的等腰直角△PMN且点M、N分别在∠A的两边上

分析：假设△PMN已经作出，如图。以P为顶点作等腰直角△PBC，使BC在射线AN上，则△PMN∽△PBC，∠PMN=∠PCB，P、N、C、M四点共圆，∠PCM=∠PNM=Rt∠，由点C可作出点M，则图可作出

作法：1、过点P作PB垂直于∠A一边，垂足为B；

  2、在∠A的边上截取BC=BP并连结PC；

  3、过点C作CM⊥PC交∠A另一边于点M并连结PM；

  4、作PM的中点O；

  5、以O为圆心，PO为半径作弧交射线AC于点N并连结MN、PN，则△PMN为所求。

证明：由作图易知△PBC为等腰直角三角形，△PMN为直角三角形。

再由∠PCM=∠PNM=Rt∠，得P、N、C、M四点共圆，

所以∠PMN=∠PCB=45°，

可得△PMN为等腰直角三角形，证毕。

讨论：本题已经按所给定的条件作出，由于点C可以在线段PB的两侧，故本题可以有两解，但是若过点C的PC的垂直线与∠A只有一个交点则本题只有一解，若无交点则本题无解。而且若点P设定为直角顶点，则解法不同，这留给有兴趣的朋友讨论。

Answer 2

你图中的M、N是怎么回事？是确定的点？必须和P组成三角形？这样P就是确定的点，而不是任意点了。

除了要求∠P=45°，还有其它条件限制没有？如果没有，就太容易了。请看

1，以P为圆心，大于P到AN的距离为半径画弧，交AN于Q、W，

2，以Q、W分别为圆心，PW为半径画弧，连接弧的交点PS，交AN于O。

3，在ON或OA上用圆规截取OP`或OP``=OP，连接PP`或PP``，∠OPP`=∠OPP``=45°

如果还有什么不明白的，尽管问吧。像这些作图的问题，尽可以找我。

Answer 3

如原图，如果做以N角为直角的等腰直角三角形
则
过P做AM的垂线交与点R
过P做AN的垂线交与点S
则PR的垂直平分线与角ASP的角平分线交点
即MP的中点
可以该交点为圆心，以交点到P点的距离为半径做圆
可得MN两点

证明：
设圆心为点O即MP中点
1，先证明圆心O在PR垂直平分线上。
由于M在AM上， PM中点与PR中点连线为三角形PMR中位线，即PR垂直平分线
2，再证明圆心O在角ASP的角平分线上。
以PS为斜边向左做等腰直角三角形，直角顶点为O'
则PO/PN=PO'/PS 又 ∠OPO'=∠NPS 则 △OPO'相似于△NPS
则∠OO'P=∠NSP=90° 则O O' S三点共线
O恰在∠ASP角平分线上

当角A为135°时，角平分线与垂直平分线平行或重合，平行无解，重合无穷解
当角A大于135°时，O点在O'点下方，M点在AM反向延长线上。证明雷同