Question

高数导数问题请教？

题目：设f（0）=0那么f（x）在点x=0处可导的充要条件为：以下图片为其中一个选项，我想知道为什么这一项不正确。谢谢，最好详细的回答。
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Answer 1

令x=1-cosh
lim(h→0)f(1-cosh)/h^2=1/2lim(x→0)f(x)/x（等价无穷小）
所以f(x)在x=0处可导，该极限存在
但该极限存在时，不一定可导。因为x=1-cosh在h=0的邻域不小于0，也就是说该极限求的只是1/2lim(x→0+)f(x)/x，即0的右导数，至于0的左导数无法得出。

追问

lim(h→0)f(1-cosh)/h^2=1/2lim(x→0)f(x)/x（等价无穷小）怎么来的？？？

追答

因为1-cosh~h^2/2
所以limf(1-cosh)/h^2=limf(1-cosh)/[2(1-cosh)]=1/2limf(x)/x

Answer 2

上述极限如果存在，可以证明0的右导数存在，但左导数不能证明，因为h^2>0

追问

但是其自变量增量又不是h的平方啊

追答

证明不了lim(h趋于0-)f(h)/h极限存在

追问

那自变量增量是谁？