Question

高中数学，如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x2+（y-3）2=1． （1）若动点M到点F的

如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：x2+（y-3）2=1．
（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；
（2）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．

Answer 1

如图：

(1)由题意可知，动点M到点F的距离等于它到直线 y=-1的距离。

设动点M的坐标为（x,y）,则有√[x^2+(y-1)^2]=|y+1|，即x^2=4y

 所以动点M的轨迹E的方程为：x^2=4y

(2)圆的半径 r=1

   S(pacb)=r*PA=r√(PC2-r2)

   当PC最小时，面积S具有最小值。

  设P(x,y)，则 PC2=x2+(y-3)2=4y+(y-3)2=(y-1)2+8

    y=1时，PC2有最小值8

                S最小值=√(8-1) =√7

   此时点P坐标：(±2，1)

Answer 2

(1)动点M到点F的距离等于它到直线 y=-1的距离。

    抛物线方程为：x²=4y

(2)圆的半径 r=1

   S(pacb)=r*PA=r√(PC²-r²)

   当PC最小时，面积S具有最小值。

  设P(x,y)，则 PC²=x²+(y-3)²=4y+(y-3)²=(y-1)²+8

    y=1时，PC²有最小值8

                S最小值=√(8-1) =√7

   此时点P坐标：(±2，1)