Question

概率论问题

设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=16y/x^3, x>2, 0<y<1,
0, 其他

求Cov（X，Y）

Answer 1

Cov（X，Y）=E[(X-EX)(Y-EY)]

所以第一步先求X，Y各自的期望。
那么期望如何求？EX=积分x*f(x)dx 所以先求各自的边缘密度函数
f(x)=积分0到1 f(x,y)dy=8/x^3 EX=积分2到正无穷 x*f(x)dx=4
f(y)=积分2到正无穷 f(x,y)dx=2y EY=积分0到1 y*f(y)dy=2/3

第二步可以直接求协方差，也可以通过f(x,y)=16y/x^3=f(x)f(y)看出X，Y独立直接得协方差为0

Cov（X，Y）=E[(X-EX)(Y-EY)]=二重积分(x-4)(y-2/3)f(x,y)dxdy
=16*积分0到1 (y-2/3)*ydy * 积分2到正无穷 (x-4)/x^3
=0