Question

求与直线l：2x-y+5=0垂直，且与圆C：x^2+y^2+2x-4y+1=0相切的直线方程

Answer 1

方法一：
与直线2x-y+5=0垂直的方程可写为：y=-1/2+b
解方程：y=-1/2+b
x^2+y^2+2x-4y+1=0

5/4 x^2 +(4-b)x +b^2 -4b +1=0
因为相切。所以只有一个解。故△=0

(4-b)^2=5（b^2-4b+1)

解得：b=3/2±√5
直线方程为：
y=-1/2x+3/2 ±√5

方法二：
x²+y²+2x-4y+1=0
(x+1)²+(y-2)²=4
圆心为(-1,2)半径=2
和2x-y+5=0 垂直
则k=-1/2 所以可设直线为y=-x/2+b
圆心到此直线距离=半径=|2-1/2-b|/根号下(5/4)=2
(3/2-b)²=5
3/2-b=±根号下5
b=3/2±根号下5
所以直线为y=-x/2+3/2±根号下5

Answer 2

l:斜率=2；
垂直线斜率=-1÷2=-1/2;
设直线为y=-x/2+b;
即x+2y-b=0;
圆：(x+1)²+(y-2)²=4;
圆心（-1,2）半径=2；
圆心到直线距离的=|-1+4-b|/√(1+4)=2;
|3-b|=2√5;
3-b=±2√5;
b=3-2√5或b=3+2√5；
直线为x+2y-3+2√5=0或x+2y-3-2√5=0

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