Question

数学分析中的一个定义及其推论不明白

数学分析中的聚点定义中要求是有无限个点,而其推论中则说有点即可.怎么回事?各位高手予以点明!

Answer 1

数学分析中聚点实际上有三个等价的定义，你问到的是其中的两个，下面是他们的等价性的证明。
（1）A是一个点集，x0是一个定点（可以不属于A），如果x0的任意邻域都含有A中的无穷多个点，则称x0是A的一个聚点。
（2）A是一个点集，x0是一个定点（可以不属于A），如果x0的任意邻域都含有A中异于x的点，则称x0是A的一个聚点。
（1）推（2）是显然的，取其任意一个邻域，此邻域有无穷多点，当然有异于x0的点。
（2）推（1）可以用构造法来证：
取δ1=1，则存在x1∈U开心（x0,δ1）∩A,
取δ2=min（1/2，ㄧx0-x1ㄧ），则存在存在x2∈U开心（x0,δ2）∩A,且有x2≠x1
... ...
取δn=min（1/n，ㄧx0-xn-1ㄧ），则存在存在xn∈U开心（x0,δn）∩A,且有xn与x1,x2,...,xn-1互不相同。
这样一直下去就得到了无限个点。
证法中，构造无限个点时用了点技巧，可以画个数轴作个图帮助理解。
以后在学习泛函分析、点集拓扑学的时候还会遇到聚点，开、闭集，等概念。在泛函分析中，度量空间中的聚点也有类似的三个等价定义。而在点集拓扑学中则只有一个定义类似于（2），只能用有点来定义。