Question

刘老师为我讲解一下基础解系吧！

书上我看了并不是太懂，到底基础解系是什么？怎么求？一个方程好像还有很多解？

Answer 1

基础解系首先是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，基础解系是针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程组的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。
编辑本段基础解系和通解的关系
对于一个方程组，有无穷多组的解来说，最基础的，不用乘系数的那组方程的解，如（1，2，3）和（2，4，6）及（3，6，9）以及（4，8，12）......等均符合方程的解，则系数K为1，2，3，4.....等，因此（1，2，3）就为方程组的基础解系。
A是n阶实对称矩阵，
假如r(A)=1.则它的特征值为t1=a11+a22+...+ann,t2=t3=...tn=0；对应于t1的特征向量为b1，t2~tn的分别为b2~bn
此时，Ax=0的解就是k2b2+k3b3+...+knbn；其中ki不全为零。由于:Ax=0Ax=0*B,B为A的特征向量，对应一个特征值的特征向量写成通解的形式是乘上ki并加到一起。这是基础解系和通解的关系。

追问

谢谢 你讲的也不错

Answer 2

齐次线性方程组的基础解系 就是方程组的所有解的一个极大无关组

求齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系, 方法是将系数矩阵A用初等行变换化为行最简形
非零行的首非零元所在列对应的未知量 -- 约束未知量
其余未知量: 自由未知量
自由未知量任取一组数可得方程组的一个解
自由未知量取 (1,0,..0), (0,1,...,0),...,(0,0,..,1) 即得基础解系

如 A 化为
1 2 0 0 5 6
0 0 1 0 3 4
0 0 0 1 7 8
0 0 0 0 0 0
则自由未知量为 x2, x5,x6
分别取 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) 得基础解系: (-2,1,0,0,0,0)^T, (-5,0,-3,-7,1,0)^T, (-6,0,-4,-8, 0, 1)^T
你琢磨一下

追问

懂了不少， 再问一下齐次方程的通解就是各基础解系乘个系数相加，非齐次是相加后再加一个特解吗？

追答

是的
看看教材中线性方程组解的结构部分

追问

自由未知量可以不取(0 0 1)吗

追答

只要3组数 线性无关就可以

Answer 3

基础解系首先是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，基础解系是针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程组的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。