Question

展开成幂级数

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Answer 1

　　解：∵f(x)=lnx-ln(1+x)=ln[1+(x-1)]+ln[2(1+(x-1)/2)]=ln[1+(x-1)]+ln2+ln[(1+(x-1)/2)]，
　　而在丨x-1丨<1时，ln[1+(x-1)]=∑[(-1)^n][(x-1)^(n+1)]/(n+1)、在丨(x-1)/2丨<1时，ln[1+(x-1)/2]=∑[(-1)^n][(x-1)/2]^(n+1)]/(n+1)，n=0,1,2，……，∞。
　　∴两个级数同时收敛的公共区域是，{x丨丨x-1丨<1}∩{x丨丨x-1丨<2}={x丨丨x-1丨<1}，即0<x<2。
　　又，x=2时，∑[(-1)^n][(x-1)^(n+1)]/(n+1)是交错级数，按照莱布尼兹判别法，收敛。
　　∴f(x)=ln2+∑[(-1)^n][1+1/2^(n+1)][(x-1)^(n+1)]/(n+1)，其中，0<x≤2，n=0,1,2，……，∞。供参考。

追问

追答

　　用的是间接展开法。∵ln(1+x)=∑[(-1)^n][x^(n+1)]/(n+1)，将其中的x换成x-1、调整收敛区间即可。
　　∵收敛区间是{x丨丨x-1丨<1}，即0<x<2。该区间的端点值是x=0和nx=2，而x=0时不用讨论的【f(x)的定义域要求x≠0】，∴只讨论了x=2的情形。
　　供参考。

Answer 2

Answer 3