Question

已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点.

已知F1(-c,O),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点且向量PF1·向量PF2=c²,则此椭圆离心率的取值范围是_____.

Answer 1

向量PF1•向量PF2=|PF1|*|PF2|cos∠F1PF2=c²
设坐标 P(x,y)，则向量 PF1={-c-x,-y}，向量 PF2={c-x,-y}；
向量PF1•向量PF2=-(c-x)²+y² =c²；
∴ y²=c²+(c-x)²=2c²-2cx+x²，代入椭圆方程：x²/a²＋[2c²-2cx+x²]/b²=1；
将方程通分化简 (a²+b²)x²-2a²cx+a²(2c²-b²)=0；
当 △=(2a²c)²-4(a²+b²)*a²(2c²-b²)≥0 时方程有解（即 P 才存在），∴ a²c²-(2a²-c²)(3c²-a²)≥0；
展开并以 e=c/a 代入：3(e²)²-6e²+2≥0，∴ e²≤1－√3/3；
0<e≤√(1－√3/3)；