Question

已知F1（-c,0）,F2（c,0）为椭圆x²/a²+y²/b²=1的两个焦点，P为椭圆上一点且P

已知F1（-c,0）,F2（c,0）为椭圆x²/a²+y²/b²=1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1·PF2=c²，则此椭圆离心率的取值范围是

Answer 1

原题是:已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x²/a²+y²/b²=1的两个焦点，P为椭圆上一点且
向量PF1·向量PF2=c²，则此椭圆离心率的取值范围是____.

结论：离心率的取值范围是3/3≤e≤√2/2.

理由:设P(am,bn),其中 m^2+n^2=1,0≤m^2≤1

由已知得(-c-am)(c-am)+(0-bn)(0-bn)=c²
a^2m^2+b^2n^2=2c^2
(a^2-b^2)m^2+b^2=2c^2
c^2m^2+(a^2-c^2)=2c^2
3e^2-1=e^2.m^2
0≤3e^2-1≤e^2
1/3≤e^2≤1/2

所以 √3/3≤e≤√2/2

希望能帮到你！