Question

如图，点F1（-c，0），F2（c，0）分别是椭圆是C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a大于b大于0）的左右焦点，过F1作x轴

的垂线交椭圆C的上半部分与点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x=a^2/c于点Q。（1）如果点Q的坐标是（4,4），求此时椭圆C的方程
（2)证明；直线PQ与椭圆C只有一个交点

Answer 1

浪费了两个优点，好心痛

 

 

（2）设Q( a²/c ，t)，过 Q 作椭圆的两条切线QP'、QP″，切点分别为P'、P″( P' 点在x 轴上方) ，连结P'P″，则切点弦P'P″ 的方程为x/c+ ty/b²= 1，显然P'P″ 过焦点F2，

有kF2Q = t/[（a²/c） － c]= tc/b2²，

因此kP'P″·kF2Q = － 1，即F2P' ⊥ F2Q，又因为F2P ⊥ F2Q，

故P 与P' 两点重合，所以直线PQ与椭圆C 只有一个交点

Answer 2

设Q( a²/c ，t)，过 Q 作椭圆的两条切线QP'、QP″，切点分别为P'、P″( P' 点在x 轴上方) ，连结P'P″，则切点弦P'P″ 的方程为x/c+ ty/b²= 1，显然P'P″ 过焦点F2，
有kF2Q = t/[（a²/c） － c]= tc/b2²，
因此kP'P″·kF2Q = － 1，即F2P' ⊥ F2Q，又因为F2P ⊥ F2Q，
故P 与P' 两点重合，