Question

设点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:x^2/a^2+y^2=1(a>1)的左,右焦点,P为椭圆C上任意一点,且向量PF1·向量PF2

设点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:x^2/a^2+y^2=1(a>1)的左,右焦点,P为椭圆C上任意一点,且向量PF1·向量PF2的最小值为O.1）求椭圆C的方程。2）若动直线l1、l2均与椭圆相切，且l1//l2,试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1、l2的距离之积恒为1？

Answer 1

第一问：
向量PF1·向量PF2的最小值出现在P是椭圆短轴与椭圆的的交点（设为点B）处，这是个结论（其实用椭圆第一定义：|PF1|+|PF2|=常数，结合余弦定理，也容易证明）。
现在已知向量PF1·向量PF2的最小值为0，那就说明角F1BF2=90度，所以椭圆的半短轴b=c=1，a=根号2.

第二问：
直线l1与椭圆C相切，设切点坐标是(x1,y1)。那么切点的直线方程是(x1/a^2)*x+(y1/b^2)*y=1（这是个结论，要记住）显然直线l2与椭圆C的切线方程就是(x1/a^2)*x+(y1/b^2)*y=-1
现在定义：x1/a^2=A=x1/2，y1/b^2=B=y1
现设x轴上一点Q（x0,0），则Q到两直线l1距离就是：
|Ax0-1|/sqrt(A^2+B^2)
Q到两直线l2距离就是：
|Ax0+1|/sqrt(A^2+B^2)
假设点Q在椭圆外，那么必定从Q可以引出一条直线和椭圆相切，就不能满足距离之积恒等于1了（因为有可能=0）。
所以我们已经证明Q在椭圆内部，而直线L1和L2分别在Q的两侧，所以按距离之积等于1，就有：
1-（Ax0）^2=A^2+B^2
也就是A^2(1+x0^2)+B^2=1
也就是x1^2/4(1+x0^2)+y1^2=1
注意(x1,y1)也是椭圆上的点，满足椭圆方程，所以要使得上式恒成立，显然只要1+x0^2=2就行了，这样x0=正负1