Question

某行星可视作半径为R的球体,有一卫星离此行星表面高度为4R的轨道作匀速圆周运动周期为T,引力常量为G

某行星可视作半径为R的球体，有一卫星离此行星表面高度为4R的轨道作匀速圆周运动周期为T，引力常量为G，则：
（1）卫星运动的加速度
（2）行星的平均密度

求过程谢谢啦~

Answer 1

设星行星质量为 m1、卫星质量为 m2、速度为 v、行星卫星中心距为 r=5R；
（1）2πr=v*T，∴ v=2πr/T；卫星运动的加速度 a=v²/r=(2πr/T)²/r=4π²r/T²=20π²R/T²；
（2）行星与其卫星间的引力：F＝G*m1*m2/r²，卫星向心力 F'=m2*a=20π²R*m2/T²；
由 F=F' 得：G*m1*m2/r²=20π²R*m2/T²，∴ m1=20π²R*r²/(GT²)；
行星密度 ρ=m1/(4πR³/3)=[20π²R*r²/(GT²)]*[3/(4πR³)]=375π/(GT²)；