Question

在三角形ABC中，2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinc,求sinB+sinC的最大值

Answer 1

解：由正弦定理得a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC
代入2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinc
得2a²=(2b+c)b+(2c+b)c
化简得a²=b²+c²+bc
由余弦定理得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=-1/2
所以A=120°
即B+C=60°
sinB+sinC=2sin(B+C)/2cos(B-C)/2=cos(B-c)/2
当B-C=0时
sinB+sinC=cos(B-c)/2最大值是1
即当B=C=30°A=120°时
sinB+sinC最大值是1

Answer 2

设外接圆半径r
sina=a/(2r),sinb=b/(2r),sinc=c/(2r)
2asina=(2b+c)sinb+(2c+b)sinc
转换：b^2+c^2+bc-a^2=0
(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1/2=cosa
得a=120，

b+c=60
sinb+sinc
=2sin[(c+b)/2]*cos[(c-b)/2]
=cos[(c-b)/2]
<=1
当b-c=0，b=c=60/2=30等号成立
sinb+sinc的最大值
为1