Question

已知X>0,Y>0, X+3Y+X*Y=9 求X+3Y的最小值

Answer 1

解法一：
x+3y+xy=9
y=(9-x)/(x+3)=-1+12/(x+3)>0，0<x<9
原式=x+3y

=9-xy
=9-x*[-1+1/(x+3)]
=(x^2+27)/(x+3)=m>0
整理得：x^2-mx+27-3m=0
△=(-m)^2-4*1*(27-3m)>=0，m>=6（m<=-18不符合m>0舍去）
x1*x2=27-3m>0，m<9
所以：6<=m<9
所以：x+3y的最小值为6，此时x=3，y=1

解法二：
x+3y=9-xy>=2√(x*3y)=2√(3xy)>0
整理得：(xy)^2-30xy+81>=0，xy<9
所以：0<xy<=3
所以：当xy=3时，x+3y最小值为6.

Answer 2

解：
x+3y+xy=9
x=(9-3y)/(y+1)
x+3y=9-xy
x+3y=9-[(9-3y)/(y+1)]y
x+3y=3(y²+3)/(y+1)
(x+3y)'=3[(2y)(y+1)-(y²+3)]/(y+1)²
(x+3y)'=3(y²+2y-3)/(y+1)²
1、令：(x+3y)'＞0，即：3(y²+2y-3)/(y+1)²＞0
有：y²+2y-3＞0
(y+3)(y-1)＞0
有：y+3＞0、y-1＞0…………………………(1)
或：y+3＜0、y-1＜0…………………………(2)
由(1)得：y＞1，由(2)得：y＜-3
即：当y∈(-∞，-3)∪(1，∞)时，x+3y为单调增函数；
2、令：(x+3y)'＜0，即：3(y²+2y-3)/(y+1)²＜0
有：y²+2y-3＜0
(y+3)(y-1)＜0
有：y+3＞0、y-1＜0…………………………(3)
或：y+3＜0、y-1＞0…………………………(4)
由(3)得：-3＜y＜1，
由(2)得：y＜-3，y＞1，矛盾，舍去。
即：当y∈(-3，1)时，x+3y为单调减函数；
考虑到y∈(0，∞)，因此有：
当y∈(0，1)时，x+3y为单调减函数；
当y∈(1，∞)时，x+3y为单调增函数。
故：当y=1时，x+3y取得最小值，最小值为：x+3y=3(1²+3)/(1+1)=6
此时，x=(9-3×1)/(1+1)=3
综上所述，有：
当x=3、y=1时，x-3y取得最小值，最小值是6。