Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，DE=2，线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始），速度为每秒1个单位

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，DE=2，线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始），速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时停止运动，F为DE的中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N连接DM、ME、EN。设运动时间为t秒。
（1）求证：四边形MFCN是矩形；
（2）设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大时，求t值；
（3）在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值

Answer 1

(1) 证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°．
∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°．
∴∠FMN＝90°．
∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形．

(2) 解：当运动时间为t秒时，AD＝t，
∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝12DE＝1．
∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t．
∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t．
又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°．
∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1，
∴S＝S△MDE＋ S△MNE ＝12DE•MF＋12MN•MF
＝12×2(t＋1)＋ 12(7－t)(t＋1)＝－12t^2＋4t＋92
∵S＝－12t^2＋4t＋92＝－12(t－4)^2＋252
∴当t＝4时，S有最大值．

(3) 解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM．
① 当△NME∽△DEM时，∴NMDE＝EMME ．
∴7－t^2＝1，解得：t＝5．
② 当△EMN∽△DEM时，∴NMEM＝EMDE ．
∴EM2＝NM•DE．
在Rt△MEF中，ME2＝EF^2＋MF^2＝1＋(t＋1)^2，∴1＋(t＋1)^2＝2(7－t)．
解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去)
综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．