Question

在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中

(1)求异面直线A1B与B1C所成的角的大小;
(2)求直线A1B与平面BB1D1D所成的角;
(3)求二面角A—BD—A1的正切值;
(4)求证:平面A1BD//平面CB1D1;
(5)求证：直线AC1⊥平面A1BD
（6）求证：平面ABC1⊥平面A1BD

Answer 1

（1）∵B1C||A1D
异面直线A1B与B1C所成的角即A1D与A1B所成的角
A1D=A1B=DB=√2
∴△A1DB是等边三角形
∴异面直线A1B与B1C所成的角=60°
（2）此问是人教版必修2例题
连接A1C1，交D1B1于O，连接BO
∵A1C1⊥D1B1，BB1⊥A1C1
∴A1C1⊥面BB1D1D
∴∠A1BO即A1B与平面BB1D1D所成的角
∴sin∠A1BO=A1O/A1B=√2/2/√2=1/2
直线A1B与平面BB1D1D所成的角=30°
(3)连接AC交BD与M，连接A1M

在1问中已证△A1DB是等边三角形
∴A1M⊥BD
∵AC⊥BD
∴∠A1MA是二面角A—BD—A1的平面角
tanA1MA
=1/(√2/2)
=√2
(4)∵A1B||D1C
∵A1D||B1C
∴平面A1BD//平面CB1D1;
（5）BD⊥AC
BD⊥CC1
∴BD⊥面ACC1
∴BD⊥AC1
同理A1D⊥面AC1D1
∴A1D⊥AC1
∴直线AC1⊥平面A1BD
（6）∵AC1⊥平面A1BD
又AC1在面ABC1内
∴面ABC1⊥平面A1BD

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