Question

等差数列an中,首项a1>0,前n项和为Sn,S17=S10,当n为何值时，Sn取最大值？

Answer 1

设公差为d,则有
S17=17a1+136d
S10=10a1+45d
由S17=S10解得
a1=-13d 即：a1+13d=0 又a1>0 故d小于0
另由｛an}为等差知a14=a1+13d=0 且知a15后均小于0.
因此，只有n为13或14时Sn取最大值
其实，此题就是考查如何得出a14=0，公差小于0,从而判断a13以前各项大于0，a15后各项小于0
所以，只有13个正数或14个非负数这种才最大。

Answer 2

设公差为d。a1>0，若d≥0，则an递增，Sn递增，与已知S17=S10不符，因此d<0。
S17=S10
17a1+136d=10a1+45d
a1+13d=0
a1=-13d
an=a1+(n-1)d=-13d+d(n-1)=dn-14d=d(n-14)
n=14时，a14=0，n<14时，an>0
即当n=13，n=14时，Sn取得最大值。

追问

为什么当n=13时，Sn也是max?