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一道高数(微分方程)的题目!
已知微分方程dy/dx+p(x)y=f(x)。有两个特解y1=-1/4x^2y2=-1/4x^2-4/(x^2)求满足的p(x),f(x),并给出方程通解。key:2/x...
已知微分方程dy/dx+p(x)y=f(x)。
有两个特解y1=-1/4x^2 y2=-1/4x^2-4/(x^2)
求满足的p(x),f(x),并给出方程通解。
key:
2/x
-x
C4/(x^2)-1/4x^2 展开
有两个特解y1=-1/4x^2 y2=-1/4x^2-4/(x^2)
求满足的p(x),f(x),并给出方程通解。
key:
2/x
-x
C4/(x^2)-1/4x^2 展开
2个回答
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(1)不是应该去掉一个积分号,就加一个任意常数C吗,公式里有三个积分号,为什么最后只有
一个C?
答:这是一阶微分方程通解公式,在写这个公式时,就只有一个积分常数,不要把里面的积分
符号看作没写积分常数的不定积分。事实上,不用此公式求解,就知道只有一个积分常数。
(2).
∫tanxdx=∫(sinx/cosx)dx=-∫d(cosx)/cosx=-ln(cosx)+c;
在解微分方程时,一般都不加绝对值符号。
不用上面的公式求通解:
先求齐次方程
y'+ytanx=0的通解:分离变量得
dy/y=-tanxdx;
积分之得
lny=ln(cosx)+lnc=ln(ccosx);即有齐次方程的通解为
y=ccosx;
将c换成x的函数u,得
y=ucosx.........①;对①取导数得
y'=u'cosx-usinx.........②
将①②代入原式得
u'cosx-usinx+ucosx=cosx;化简得
u'=1,故u=x+c.........③;
将③代入①式即得原方程的通解为:y=(x+c)cosx.
一个C?
答:这是一阶微分方程通解公式,在写这个公式时,就只有一个积分常数,不要把里面的积分
符号看作没写积分常数的不定积分。事实上,不用此公式求解,就知道只有一个积分常数。
(2).
∫tanxdx=∫(sinx/cosx)dx=-∫d(cosx)/cosx=-ln(cosx)+c;
在解微分方程时,一般都不加绝对值符号。
不用上面的公式求通解:
先求齐次方程
y'+ytanx=0的通解:分离变量得
dy/y=-tanxdx;
积分之得
lny=ln(cosx)+lnc=ln(ccosx);即有齐次方程的通解为
y=ccosx;
将c换成x的函数u,得
y=ucosx.........①;对①取导数得
y'=u'cosx-usinx.........②
将①②代入原式得
u'cosx-usinx+ucosx=cosx;化简得
u'=1,故u=x+c.........③;
将③代入①式即得原方程的通解为:y=(x+c)cosx.
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(y1)'=(1/4x^2)'=1/2*x
(y2)'=-1/2*x+8/(x^3)
将y1 y2 和(y1)’ (y2)'代入微分方程,得
-1/2*x-1/4*x^2*p(x)=f(x) (1)
-1/2*x+8/(x^3)-1/4x^2 p(x)+4/(x^2) p(x)=f(x) (2)
两式相减,得4/x^2 *p(x)=8/x^3
于是p(x)=2/x
代入(1)式,得f(x)=-x
于是原微分方程为y’+2/x*y=-x
此为标准的一阶线性方程,代入公式得:C4/(x^2)-1/4x^2
上面微分方程也可以这样作:
(xy'+2y)/x=-x
x^2y'+2xy=-x3
(x^2y)'=-x^3
x^2y=-1/4*x^2+c'
y=-1/4x^2+c'/(x^2)
c'为常数,此可做为答案,若让其同参考答案一致,令c’=4c
(y2)'=-1/2*x+8/(x^3)
将y1 y2 和(y1)’ (y2)'代入微分方程,得
-1/2*x-1/4*x^2*p(x)=f(x) (1)
-1/2*x+8/(x^3)-1/4x^2 p(x)+4/(x^2) p(x)=f(x) (2)
两式相减,得4/x^2 *p(x)=8/x^3
于是p(x)=2/x
代入(1)式,得f(x)=-x
于是原微分方程为y’+2/x*y=-x
此为标准的一阶线性方程,代入公式得:C4/(x^2)-1/4x^2
上面微分方程也可以这样作:
(xy'+2y)/x=-x
x^2y'+2xy=-x3
(x^2y)'=-x^3
x^2y=-1/4*x^2+c'
y=-1/4x^2+c'/(x^2)
c'为常数,此可做为答案,若让其同参考答案一致,令c’=4c
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