三角函数题目求解
若三角形ABC的内角A,B满足sinB/sinA=2cos(A+B)，则tanB的最大值为求详解和答案答案是根号3/3...
若三角形ABC的内角A,B满足sinB/sinA=2cos(A+B)，则tanB的最大值为 求详解和答案
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分析：由A和B为三角形的内角，得到sinA和sinB都大于0，进而确定出C为钝角，利用诱导公式及三角形的内角和定理化简已知等式的左边，得到sinB=-2sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，得到tanC=-3tanA，将tanB利用诱导公式及三角形的内角和定理化简为-tan（A+C），利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanC=-3tanA代入，变形后利用基本不等式求出tanB的范围，即可得到tanB的最大值．
解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，
∴sinB / sinA =2cos（A+B）=-2cosC＞0，即cosC＜0，
∴C为钝角，sinB=-2sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC，即cosAsinC=-3sinAcosC，
∴tanC=-3tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-(tanA+tanC/1-tanAtanC) =-(-2tanA /1+3tan2A) =2 / (1 / tanA+3tanA) ≤
2 / 2根号3 =（根号3 ）/3 ，
当且仅当
1/tanA=3tanA，即tanA=(根号3)/3 时取等号，
则tanB的最大值为(根号3)/3．
解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，
∴sinB / sinA =2cos（A+B）=-2cosC＞0，即cosC＜0，
∴C为钝角，sinB=-2sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC，即cosAsinC=-3sinAcosC，
∴tanC=-3tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-(tanA+tanC/1-tanAtanC) =-(-2tanA /1+3tan2A) =2 / (1 / tanA+3tanA) ≤
2 / 2根号3 =（根号3 ）/3 ，
当且仅当
1/tanA=3tanA，即tanA=(根号3)/3 时取等号，
则tanB的最大值为(根号3)/3．
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-07-25 广告
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