Question

椭圆的离心率求解

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F1，左焦点为F2，若椭圆上存在一点P，满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为多少　求详解和答案
抱歉看错了 是根号5/3

Answer 1

设PF1中点为M
连接OM，则OM为△PF1F2的中位线。
所以PF1⊥PF2
PF2=2OM=2b，F1F2=2c，PF1=2a-PF2=2a-2b
勾股定理可得e=√5/3.

Answer 2

因为PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，因此原点(即圆心)到切点的连线垂直于PF1，又因为切点为PF1的中点，因此原点到切点的连线为PF1的垂直平分线，所以原点到F1和原点到P的距离相等，即OP=OF1=c=√(a^2-b^2)，构建一个以原点为圆心c为半径的圆x^2+y^2=c^2，可知该圆经过点P和F1F2，联立该圆方程和椭圆方程，可得c^2-y^2+a^2y^2/b^2=a^2，c^2y^2/b^2=b^2，y=±b^2/c，x=±√(c^4-b^4)/c，都取正值，则PF1的中点坐标为(b^2/2c,[c^2+√(c^4-b^4)]/2c)，中点即为切点，距离原点的距离为b，即(b^2/2c)^2+{[c^2+√(c^4-b^4)]/2c}^2=b^2，解得c=√5b/2，因此a=3b/2，离心率e=c/a=√5/3。

Answer 3

椭圆的离心率是什么