Question

一道数学分析证明题,题目在下面的问题补充里.要详细的证明过程,可以编辑一下或者发个证明过程的图片给我~

Answer 1

由条件，存在M>0，使|f'(x)|<=M。注意到对任意x1,x2 ∈[a,b]，由Lagrange中值定理，存在c∈(x1,x2)，使
f(x2)-f(x1) = f'(c)(x2-x1)，
于是，对任意ε>0，取δ= ε/M，则对任意x1,x2 ∈[a,b]，只要|x2-x1|< δ，就有
|f(x2)-f(x1)| = |f'(c)(x2-x1)| <= M*|x2-x1| < Mδ = ε，
根据一致连续的定义知，f(x)在[a,b]上一致连续。