Question

求解二阶微分方程的初值问题：y"-2yy'=0;y(0)=1,y'(0)=0;求高手

Answer 1

仔细看了一下课本
令 y'=p
y"=dp/dx=(dp/dy)*(dy/dx)=p*(dp/dy)
代入y"-2yy'=0;
p*(dp/dy)=2y*p
dp/dy=2y
y'=p=y^2+C

代入 y(0)=1,y'(0)=0;
0=1+C
得到C=-1;
所以
dy/dx=y^2-1
dx/dy=1/(y^2-1)
x=(1/2)* ln|(y-1) / (y+1)| +C
即
(y-1) / (y+1)=C*e^2x
根据
y(0)=1
得到
C=0
最终方程 y=1

追问

谢谢！但我还是不怎么了解透彻，如果把y"-2yy'=0； y(0)=1；y'(0)=0;改成
　　y"-2yy'=0；y(0)=1；y'(0)=1 呢？我只是想多了解这种算法而已

追答

一样啊，就是中间代入的时候
y'=p=y^2+C
代入

1=1+C

所以C=0
y'=y^2
dy/dx=y^2
dx/dy=1/y^2
x=-1/y+C2

代入y(0)=1
0=-1+C2，
C2=1
最终方程就是

x=-1/y + 1